전미분

§3 전미분     2변수함수 에서 의 증분 에 대응하는 함수 의 증분 를 정의하면                                            (1)  함수 가 근방에서 연속인 1계편도함수를 가진다고 하자.                      (2)  평균값정리에 의해  위의 두 식을 (2)에 대입하면                               (3)  편도함수  , 가 근방에서 연속이라고 가정한다면    ,       따라서                                            (4)                                     단,   ,       (4)에서  , 를 충분히 작게 잡으면                                                     (5)  (5)의 우변을  또는 의 전미분(total differential) 또는 간단히 미분이라 정의한다.      또는 일 때는 , 가 된다. 따라서 이 두가지 특별한 경우를 고려하여 각 독립변 수의 미분은 그 증분으로 정의하고 전미분 는 다음과 같은 일반형으로 쓸 수 있다. (5)로부터 ,  , 가 충분히 작으면 이다. 다음 그림9-4는 의 관계를 보여준다.      [그림 9-4]     정의 9.5  2변수함수 가 점   에서 , 가 존재하고 증분 가                                단, 이면 ,     과 같이 쓸 수 있을 때 는 에서 미분가능하다고 한다.     위의 정의에서   이고    이면 원점의 어떤 근방에서 라 정의할 때 가 성립한다.  따라서 가 에서 미분가능이면 그리고     이다.    미분가능이면 편미분가능이지만 역은 성립하지 않는다.   【예제1】함수 가 다음과 같이 정의할 때, 는 원점 에서 편미분 가능이지만 미분은 불가능함을보여 라. 《풀이》 이므로 함수 는 원점에서 편미분가능 하고 이 고 이다. 함수 가 원점에서 미분가능이라고 가정하자. 그러면 이므로   이고   을 만족하는 함수 가 존재하여야 한다. 즉 함수 는 원점에서 연속이어야 한다. 그러나 이것은 9장 2절의 예제3에 의하면 모순이다. 다음 그림은 위의 함수 를 z축으로 적당히 평행이동한 그래프이다.           정리 9.6 2변수함수 가 점 의 어떤 근방에서 , 가 존재하고 연속이면 는 점 에서 미분가능하다.     정리 9.7 가 에서 미분가능이면 는 에서 연속이다. 【증명】 를 보이자.    라 하면 이므로 이면 이다. 한편                             ( 이면 )  이므로  따라서    □   【예제2】의 전미분을 구하시오. 《풀이》                                          【예제3】는 미분가능임을 보이시오. 《풀이》, 는 평면위의 모든 점에서 연속이다. 따라서  정리 9.6에 의하여 함수는 모든 점에서 미분가능하다.     독립변수가 3개 이상인 함수에 대해서도 전미분을 같은 방법으로 정의한다.  예를 들면  일 경우의 전미분 는 다음과 같다. 【예제4】 이고 점 가 에서 로 변화할 때, 의 증분 의  근사 값을 전미분을 이용하여 구하여라 《풀이》                                              여기서 를 대입하면                                                                                             함수 에서 독립변수의 작은 변화에 대해 전미분 는 증분 의 근사값이므로, 이 를 의 (근 사)오차(approximate error), 를 상대오차(relative error), 을 의 백분율오차 (percentage error)라 한다. 【예제5】 한 직원기둥의 반지름과 높이가 기껏해야 각각 2%, 4%의 오차로 측정되었다고 하자. 이 때 원기둥의 부피를 계산할 때 , 최대 백분율오차를 구하여라. 《풀이》원기둥의 반지름, 높이, 부피를 각각 라하고 를 그들의 측정오차라 하면  원기둥의 체적은 이므로        여기서 , 로 취하면   또는   그러나    여기서                                          따라서 부피의 최대 백분율오차는 대략 8%이다.